老所工作室

前几天，笔记本的屏幕碎了，虽然心痛，但破碎的屏幕让我联想到了很早以前见过的分形图形，但以前没怎么研究过这个东西，这次却产生了玩玩这个的念头。没过两天，无意间又发现了Small Basic: 一个类似LOGO语言的语言，又让我回忆起了小时候玩过的海龟先生。于是，这两个念头一结合：何不用Small Basic的海龟来画画分形图呢？

上网搜索了一些分形图的基本知识，这里先不提那些抽象的教条，咱们来看个实例吧。下面是我在wikipedia上找到的Koch Square图形的l-system定义：

• 变量：F
• 常量：+ -
• 开始形状：F
• 替换规则：F = F + F - F - F + F

不要怕，呵呵，其实这就是一个l-system定义，它描述了一个叫做Koch Square的图形。让我们看看它怎么描述这个图形吧。F是指向前画一个单位的长度；+号代表逆时针旋转90度；-号代表顺时针旋转90度。一个分型图需要两个条件：一个是起始形状，另一个则是如何变幻的规则。在我们这个例子中，起始形状就是向前画一条线，而变幻规则则是一系列的动作：向前画一单元；逆时针旋转90度；再画一单元的线；顺时针旋转90度；…

来看看例子吧，设n为我们准备将替换规则迭代到起始形状上的次数：

当 n=0 时，也就是不将替换规则迭代到开始形状中去，换句话说，就是我们的起始形状：

这时，我们完成这个图形的动作很简单，就是： F

好，当n=1时，我们需要将替换规则迭代一次到开始形状中去，将会产生：

完成这个图形的动作就是： F + F - F - F + F， 也就是一次迭代规则。

好，当n=2时，我们将上式中的所有F再次迭代为迭代规则里的动作，这样，动作就比较多了，是：

F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F

产生的图形如下：

嗯，很明显，继续迭代下去，这动作就太多了，而且这么机械的动作（移动，旋转）不正好适合我们的海龟先生来做么？

好，根据这个规则，我们写下面一段Small Basic代码：

' file: koch_square.sb
' Mr.Turtle will draw a Koch Square for us
' l-system rules:
'   variables : F
'   constants : + -
'   start : F
'   rules : F = F + F - F - F + F

' set some default values
angle = 90
length = 3
iteration = 5

' set the graphic panel color
GraphicsWindow.BackgroundColor = "Black"
GraphicsWindow.PenColor = "LightGreen"

'  move Mr.Turtle to the left-down corner for start
Turtle.Speed = 9
Turtle.Turn(-90)
Turtle.PenUp()
Turtle.Move(300)
Turtle.Turn(-90)
Turtle.Move(200)
Turtle.Turn(-90)
Turtle.PenDown()

' let's do it!
DrawStart()

' draw one rule
' if iteration is 0, stop further recursion
' otherwise, do recursion
Sub DrawRule
    iteration = iteration - 1
    If (iteration = 0) Then
        Turtle.Move(length)
        Turtle.Turn(-angle)
        Turtle.Move(length)
        Turtle.Turn(angle)
        Turtle.Move(length)
        Turtle.Turn(angle)
        Turtle.Move(length)
        Turtle.Turn(-angle)
        Turtle.Move(length)
    Else
        DrawRule()
        Turtle.Turn(-angle)
        DrawRule()
        Turtle.Turn(angle)
        DrawRule()
        Turtle.Turn(angle)
        DrawRule()
        Turtle.Turn(-angle)
        DrawRule()
    EndIf
    iteration = iteration + 1
EndSub

' draw the start shape
Sub DrawStart
    DrawRule()
EndSub

其中，iteration为迭代次数n，我们将其设为5（这个会比较耗时间，你可以尝试将其设为3），然后让海龟先生为我们“绣”出一副最简单的分形图吧（因为海龟先生画的很慢很仔细，所以我可以相信他是在“绣花”）。

下图为迭代5次的结果：

嗯，没错，这就是一幅传说中的分形图了，虽然是很简单的，但我们也可以看出一些分形图的特征：

• 自相似性：取线段的某一小块，其形状和整体形状很相似
• 无限细分：嗯，理论上，无论你将某部分线段放大，都是一个曲折的线段，理论上你不可能得到一条完全直的线段，当然，我们的海龟先生的生命是有限的，它无法将有限的生命投入到无限的锈图之中。

在l-system中，起始形状叫做Axiom，迭代规则叫做motif。我们再来看看另一个l-system定义的图形：Koch Curve:

Koch {
  Angle 60
  Axiom F - - F - - F
  F = F + F - - F + F
}

这里，我们的角度不再是90度了，而是60度，起始形状是个等边三角形：

那么，让海龟先生为我们画画吧：

' file: koch_curve.sb
' Mr.Turtle will draw a Koch Curve for us
' l-system rules:
'   variables : F
'   angle : 60
'   constants : + -
'   start : F - - F - - F
'   rules : F = F + F - - F + F

' set some default values
angle = 60
length = 5
iteration = 4

' set the graphic panel color
GraphicsWindow.BackgroundColor = "Black"
GraphicsWindow.PenColor = "LightGreen"

'  move Mr.Turtle to the left-down corner for start
Turtle.Speed = 9
Turtle.PenUp()
Turtle.Turn(90)
Turtle.Move(150)
Turtle.Turn(90)
Turtle.Move(150)
Turtle.Turn(90)
Turtle.PenDown()

' let's do it!
DrawStart()

' hide Mr.Turtle
Turtle.Hide()

' draw one rule
' if iteration is 0, stop further recursion
' otherwise, do recursion
Sub DrawRule
    iteration = iteration - 1
    If (iteration = 0) Then
        Turtle.Move(length)
        Turtle.Turn(-angle)
        Turtle.Move(length)
        Turtle.Turn(angle)
        Turtle.Turn(angle)
        Turtle.Move(length)
        Turtle.Turn(-angle)
        Turtle.Move(length)
    Else
        DrawRule()
        Turtle.Turn(-angle)
        DrawRule()
        Turtle.Turn(angle)
        Turtle.Turn(angle)
        DrawRule()
        Turtle.Turn(-angle)
        DrawRule()
    EndIf
    iteration = iteration + 1
EndSub

' draw the start shape
Sub DrawStart
    DrawRule()
    Turtle.Turn(angle)
    Turtle.Turn(angle)
    DrawRule()
    Turtle.Turn(angle)
    Turtle.Turn(angle)
    DrawRule()
EndSub
    

下面是迭代3次的图形：

下面是迭代4次的图形：

也许你会说了：老所怎么这么空啊，画这么多无聊的线段，其实，由简单的规则创造复杂的图形，这是很有趣的事情，比如以下这些图，都是l-system做出来的，而且是3D的，l-system在模拟植物方面非常有效。

当然，网上还有很多不错的作品，而且，l-system只是分形图形的一种，还有其他的诸如函数迭代等方法，这些方法，都能产生非常漂亮的图形，嗯，就等我有时间了再研究吧。

l-system, small basic, 分形图